PENERAPAN OPTIMASI FUNGSI DUA VARABEL

MAKALAH  MATEMATIKA BISNIS

PENERAPAN OPTIMASI FUNGSI DUAVARABEL

DOSEN PEMBIMBING : Alifiani, M.Pd

Kelas : MATEMATIKA 4A

Disusun oleh: KELOMPOK IV

          NURUL HUSNA                                                                 2130720002       

SRIYANI                                                                             2130720004

RIZKA RUFAIDAH                                                          2130720012

MISBAHUDDIN                                                                 2130720096

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS ISLAM MALANG

2015

KATA PENGANTAR


           

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkah, rahmat dan hidayah yang dilimpahkan-Nya, kami dapat menyusun dan menyelesaikan makalah yang berjudul “Penerapan Optimasi Fungsi Dua Varabel ”. Makalah ini ditulis untuk memenuhi salah satu syarat dalam melaksanakan tugas Matematika Bisnis Jenjang S1 pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Islam Malang.

Dengan segala keterbatasan, kami sepenuhnya menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih banyak terdapat kekurangan, baik dalam pembahasan maupun tata bahasanya atau cara penulisannya. Untuk itu, dengan segala kerendahan hati kiranya koreksi dan saran yang sifatnya membangun dari semua pihak khususnya para pembaca sangat kami harapkan demi kesempurnaan penulisan makalah ini.

Akhir kata kami mengharapkan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kami penulis pada khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.

Malang, 13 Mei 2015


Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LatarBelakang

            Dalam bab ini telah dibahas mengenai pencarian titik-titik kritis yang berupah titik maksimum atau minimum dari fungsi dengan satu variabel bebas. Metode yang digunakan adalah uji derivatif pertama dan uji derivatif kedua. Pada bab ini kita akan membahas mengenai nilai ekstrim dari fungsi dengan dua variabel bebas.

            Untuk menentukan nilai-nilai ekstrem dari fungsi dengan dua variabel bebas ini, kita tidak lagi menggunakan derivatif biasa, melainkan kita akan menggunakan derivatif parsial petama dan derivatif parsial kedua serta derivatif parsial silang. Penggunaan derivatif-derivatif parsialini sebenarnya dapat diperluas lagi pada fungsi yang lebih dari dua variabelbebas saja.

            Dalam bab ini juga akan membahas mengenai penerapan optimisasi fungsi dengan dua variabel bebas. Pertama, penerapan optimalisasi tanpa kendala  yang berupa : perusahaan dengan beberapa produk, diskriminasi harga (perusahaan dengan beberapa pasar(, dan produksi dengan dua input

B.     RumusanMasalah

1.      Bagaimanapenerapanoptimisasi fungsi dua variabel pada perusahaan dengan dua macam produk?

2.      Bagaimanapenerapanoptimisasi fungsi dua variabel pada diskriminasi harga?

3.      Bagaimanapenerapanoptimisasi fungsi dua variabel untuk menentukan laba maksimum dengan dua input?

C.    Tujuan

1.      Untukmengetahuipenerapanoptimisasi fungsi dua variabel pada perusahaan dengan dua macam produk.

2.      Untukmengetahuipenerapanoptimisasi fungsi dua variabel pada diskriminasi harga.

3.      Untukmengetahuipenerapanoptimisasi fungsi dua variabel untuk menentukan laba maksimum dengan dua input.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    PenerapanOptimisasi Fungsi Dua Variabel pada Perusahaan dengan Dua Macam Produk.

Suatu perusahaan biasanya dalam proses produksi dengan penggunaan satu macam input dapat dua atau lebih produk. Misalnya, pada perusahhan minyak goreng, di mana input yang digunakan adalah kelapa, dan outputnya adalah minyak goreng dan bungkil.

Misalnya suatu perusahaan yang menghasilkan dua macam produk dengan mengetahui fungsi permintaan adalah,

Q_x = f(P_{x ,} P_y);  dan      Q_{y =} g(P_x , P_y)

Di mana:

Q_x = Jumlah produk X yang diminta

Q_y = Jumlah produk Y yang diminta

P_x  = Harga produk X

P_y = Harga produk Y

Maka penerimaan (revenue) totalnya adalah,

TR = TR_X  + TR_Y = P_xQ_x  + P_yQ_y

Dan jika fungsi biaya bersama (joint-cost) adalah,

TC = f (Q_x , Q_y)

π = TRx+ TRy - TC

Maka labanya adalah,

                                                                                                (1)

           

π = [PxQx+ PyQy] - f (Qx , Qy)

Atau

Laba akan maksimum, jika memenuhi syarat pertama yang perlu adalah,

  dan  

dan syarat kedua yang mencakupkan adalah,

 ;   dan

²

contoh ( 1 )

            Jika fungsi permintaan untuk produk X dan Y berturut-turut adalah,

            P_x= 36 – 3Q_x dan P_y = 40 – 5Q_y                                 (2)

dan fungsi biaya bersama adalah,

Tc = Q_x + 2Q_xQ_y + 3Q_y²

Tentukan jumlah dan harga yan memaksimumkan laba dan carilah maksimum profit tersebut!

Penyelesaian:

π          = [P_xQ_x+ P_yQ_y] - f (Q_x , Q_y)

π          =  [P_xQ_x+ P_yQ_y] – TC

π          = [(36-3Q_x)Q_x  + (40-5Q_y)Q_y] – (Q_x² + 2Q_xQ_y + 3Q_y²)

            = 36Q_x  - 3Q_x²  + 40Q_y - 5Q_y² - Q_x² - 2Q_xQ_y - 3Q_y²

            = 36Q_x + 40Q_y - 4Q_x² - 2Q_xQ_y – 8Q_y²                                     (3)

         = 36 - 8Q_x - 2Q_y  = 0                                                               (4)

       = 40 - 2Q_x  -16Q_y = 0                                                              (5)

36 - 8Q_x - 2Q_y  = 0      x1        36 - 8Q_x - 2Q_y     = 0

40 - 2Q_x  -16Q_y = 0      x4       160 - 8Q_x  - 64Q_y  = 0

                                                -124 + 0 + 62Q_y  = 0

                                                                  62Q_y = 124

                                                                        Q_y = 2

Subtitusikan nilai Q_y = 2 pada salah satu persamaan, yaitu persamaan (4) atau (5)  di atas, maka diperoleh Q_x = 4. Selanjutnya nilai Q_x dan Q_y di subtitusikan pada persamaan-persamaan permintaan (2) akan diperoleh nilai,

P_x = 36 – 12 = 24

P_y = 40 – 10 = 30

 ;   ;

² = 128 – 4 = 124 > 0

Karena turunan kedua dari laba (π) terhadap Q_x dan Q_y kedua-duanya negatif dan nilai determinannya lebih besar nol, berarti laba maksimum pada Q_x = 4, Q_y = 2, P_x = 24 dan P_y = 30.

Laba maksimum diperoleh dari persamaan (3), yaitu:

π_maks = 36(4) + 40(2) – 4(4) – 8(2)²

          = 112

B.     PenerapanOptimisasi Fungsi Dua Variabel pada Diskriminasi harga.

Dalam pasar monopoli, suatu perusahaan dapat saja menaikan jumlah keuntungannya dengan cara menjual produknya dengan harga jual yang berbeda-beda pada setiap pasar. Misalnya seorang monopolist menjual satu macam produknya dalam dua atau lebih pasar yang terpisah. Pembedaan harga jual produk di setiap pasar yang berbeda ini disebut diskriminasi harga. Diskriminasi harga ini dilakukan oleh monopolist apabila memenuhi asumsi bahwa pembeli (konsumen) tidak dapat membeli produk pada pasar yang satu, kemudian dijual kembali dipasar yang lain. Di samping itu juga, asumsi lainnya adalah bahwa kondisi permintaan di setiap pasar harus berbeda-beda atau elastisitas permintaan di setiap pasar berbeda-beda.

Misalkan suatu perusahaan monopoli menghadapi dua pasar yang berbeda, yaitu A dan B, maka fungsi penerimaan total di pasar A dan B berturut-turut adalah TR_A = f(Q_A) dan TR_B = g(Q_A), dan fungsi biaya total untuk kedua produk tersebut adalah TC = f(Q_A, Q_B), sehingga labanya adalah

                        atau    

Laba akan maksimum, jika memenuhi syarat pertama yang perlu adalah,

  dan  

Dan syarat kedua yang mencukupkan adalah,

 ; 

Contoh

Jika sebuah perusahaan monopoli menghadapi fungsi-fungsi permintaan,

P_A = 80 – 5Q_A dan P_B = 180 – 20Q_B

Dan fungsi biaya totalnya adalah

TC = 50 + 20 (Q_A + Q_B)

Carilah laba maksimum dari perusahaan monopoli tersebut?

Penyelesaian :

TR = TR_A + TR_B

TR = P_AQ_A + P_BQ_B
TR = (80 - 5Q_A)Q_A + (180 – 20Q_B)Q_B

TR = (80Q_A – 5Q_A²) + (180Q_B – 20Q_B²)

 (80Q_A – 5Q_A²) + (180Q_B – 20Q_B²) – [50 + 20 (Q_A + Q_B)]

  . . . (1)

 . . . (2)

Dari persaman (1) diperoleh Q_A = 6 dandaripersamaan (2) diperoleh Q_B = 4. Kemudiansubtitusikannilai Q_Adan Q_Bkedalampersamaanpermintaan P_Adan P_B, dandiperolehhasil P_A = 50 dan P_B = 100

                                 

D =   = (-10)(-40) – 0 = 400 > 0

Jadi, labameksimumnyadiperolehmelaluipersamaan

 (80Q_A – 5Q_A²) + (180Q_B – 20Q_B²) – [50 + 20 (Q_A + Q_B)]

     = 450

C.    PenerapanOptimisasi Fungsi Dua Variabel untuk Menentukan Laba Maksimum dengan Dua Input.

Andaikan sebuah perusahaan menggunakan dua macam input yaitu K dan L dan menghasilkan produk tunggal Q, maka fungsi produksinya Q = f(K,L). Dalam persaingan murni perusahaan tidak dapat menentukan harga-harga input maupun output. Misalkan harga input K dan L berturut-turut adalah a dan b, serta harga output Q adalah c, maka fungsi laba adalah,

Atau

Untuk memaksimalkan laba, caranya sama seperti pada seksi 19.3 sebelumnya, yaitu harus mencari derivatif parsial pertama dan derivatif parsial kedua .

Contoh 19.3

Misalkan fungsi produksi adalah 16Q = 60 – 2(K – 5)² – 4(L- 4)², dan harga masing-masing input K dan L berturut-turut adalah 8 dan 4, serta output adalah 16. Tentukanlah laba maksimum?

Penyelesaian:

= 16Q – 8K - 4L

^D.       = 60 – 2(K – 5)² – 4(L- 4)²

-4K + 12 = 0

K = 3

-8L + 28 = 0

L= 3.5

D =  = 32 – 0 = 32  0

Jadi, laba maksimum adalah diperoleh dari persamaan (19.12), yaitu

60 – 2(3 – 5)² – 4 (3,5 – 4)² – 8(3) – 4(3,5)

= 13

D. SOAL LATIHAN

1.      Jika diketahui fungsi Px = 12 – Qx ; Py = 15 – Qy dan TC = 4Qx + 5Qy. Tentukan harga dan jumlah barang yang memaksimumkan harga dan cari pula laba maksimum tersebut!

2.      Jika diketahui fungsi Qx = 1 – Px + 2Py ; Qy = 11 + Px – 3Py dan TC = 4Qx + Qy. Tentukan harga dan jumlah barang yang memaksimumkan harga dan cari pula laba maksimum tersebut!

3.      Jika suatu fungsi untuk suatu barang yang menggunakan dua input adalah 8Q = (K – 4)² – (L- 5)² , dan jika harga input K = 2, input L =  6, serta harga output Q = 8, carilah laba maksimum?

BAB III

PENUTUP

1. Kesimpulan

1.      Penerapanoptimisasifungsidua variabel pada perusahaan dengan dua macam Produk yang dimaksudkan adalah produksi dengan penggunaaan satu macam input tetapi dapat menghasilkan dua atau lebih produk. Misalnya, pada perusahhan minyak goreng, di mana input yang digunakan adalah kelapa, dan outputnya adalah minyak goreng dan bungkil.

2.      Diskriminasi harga adalah menaikanjumlahkeuntungannyadengancaramenjualproduknyadenganhargajual yang berbeda-bedapadasetiappasar.

3.      Laba maksimum dengan dua input merupakan memaksimumkan laba penggunaanduamacam input yang menghasilkansatu produk

2. Saran

Penulisberharapagar pembaca dapatmengembangkanpemahaman tentang penerapan optimasi fungsi dua variabel dari makalah yang telah kami buat.

Bagipembaca yang inginmemperolehpengetahuantentang penerapan optimasi fungsi dua variabelyang lebihluaslagidapatmencaridanmembacareferensi – referensi lain.